Тригонометрическая электроника

О частотах, периодах, мощности, переменных напряжениях и токах и немного о сигналах

И оба во весь опор помчались в сторону столицы
А.Дюма. Три мушкетера

Электрохимические (гальванические) элементы и аккумуляторы, с которыми мы экспериментировали, являются источниками постоянного напряжения.
Определение «постоянное» не означает, что такое напряжение вообще не меняется. Отнюдь — типичный график зависимости напряжения от времени (так называемые разрядные кривые) для гальванических элементов разных типов приведен на рис.

Зависимость напряжения от времени для гальванических элементов при токе нагрузки 100 мА
1 — литиевый (в пересчете на напряжение 1,5 В);
2 — щелочной типоразмера АА;
3 — традиционный марганец-цинковый типоразмера АА.
(По данным И. Подушкина, «Радио», № 2, 2004)

Отметим, что большинство литиевых элементов имеет номинальное напряжение 3 В (для них значение напряжения на графике следует умножить на два), но в последние годы появились и элементы этого типа, аналогичные обычным щелочным. Как видите, зависит напряжение не только от времени — отдельные пики на графиках относятся к моментам, когда нагрузка отключалась, при этом напряжение элемента скачкообразно росло, а затем, при ее подключении, снова падало.
Подробнее об особенностях электрохимических элементов мы поговорим в главе 9, а сейчас нам важно усвоить, что даже самое-самое постоянное напряжение на деле может быть совсем и не постоянным. Даже для самых качественных источников питания, таких как электрохимические элементы, оно обязательно немножко «гуляет» — в зависимости от тока нагрузки и ее характера. Что же тогда называть переменным напряжением? Строгого определения, как ни странно, не существует — часто приводимое в учебниках выражение «напряжение, которое изменяется с течением времени», как видите, прекрасно подходит и к нашим батарейкам, хотя они являются типичными источниками напряжения постоянного. Поэтому мы договоримся переменными называть такие напряжения или токи, которые изменяются во времени, во-первых, периодически, а во-вторых, делают это «сами по себе», без влияния со стороны нагрузки и других внешних причин.
Слово «периодически» означает, что, начиная с какого-то момента времени, форма графика такой величины повторяется снова и снова (хотя, возможно, и с некоторыми изменениями). Время повтора называется периодом переменной величины. Как вы хорошо знаете из школьного курса физики, наиболее простым и наглядным примером переменной периодической величины является величина, изменяющаяся во времени по синусоидальному закону.
На рис. 4.2 приведен график такой величины в зависимости от времени в условном масштабе. По оси ординат могут быть отложены как напряжение или ток, так и любой другой физический параметр.
Отрезок времени Т есть период изменения, а величина А носит название амплитуды и представляет собой максимальное значение нашей переменной в одном периоде (отметим, что для синусоидального закона минимальное значение — на части графика ниже оси абсцисс — строго равно максимальному). Величина, обратная периоду, обозначается буквой f и носит название частоты (см. формулу на рис вверху). Для нее придумана специальная единица измерения — это хорошо всём знакомый герц (Гц), названный так в честь немецкого физика XIX века Генриха Герца, доказавшего существование радиоволн.
Как следует из определения частоты, размерность герца есть единица, деленная на секунду: 1 Гц= 1/с. Это просто-напросто означает, что колебание с частотой 1 Гц имеет период повторения ровно 1 секунду. Соответственно, 1 кГц (килогерц) означает, что в одной секунде укладывается тысяча периодов, 1 МГц (мегагерц) — миллион периодов и т. п.

График простого синусоидального колебания

В дальнейшем под «величиной» мы чаще всего будем иметь в виду напряжение (для тока все выглядит аналогично). Математический закон, описывающий поведение синусоидального напряжения (U) от времени (t), выглядит так:
U = A·sin (2πft). (1)
Здесь π есть хорошо нам знакомое число «пи», т. е. отношение длины окружности к ее диаметру, равное 3,1415… Произведение 2πf носит специальное название круговая частота и обозначается буквой ω (омега). Физический смысл круговой частоты — величина угла (измеряемого в радианах), пробегаемого нашей синусоидальной кривой за секунду. Поскольку мы обещали не заниматься радиочастотной техникой, то углубляться в дальнейшие абстракции вроде представления переменных колебаний через комплексные числа, где понятие круговой частоты является ключевым, мы не будем — для практических нужд нам пока хватит и более наглядных определений обычной частоты через период.
А что будет, если график немного подвигать вдоль оси абсцисс? Как видно из рис., это равносильно признанию того факта, что в нулевой момент времени наше колебание не равно нулю. На рис. 4.3 второе колебание начинается с максимального значения амплитуды, а не с нуля. При этом сдвигаются моменты времени, соответствующие целому и половине периода, а в уравнении (1) появляется еще одна величина, обозначаемая буквой φ (фи) и измеряемая в единицах угла — радианах:
U = A·sin (2πft + φ). (2)

Рис. 4.3. График синусоидальных колебаний, сдвинутых по фазе на четверть периода

Эта величина носит название фазы. Взятая для одного отдельного колебания, величина фазы выглядит не имеющей особого смысла, т. к. мы всегда можем сместить точку начала отсчета времени так, чтобы привести уравнение к виду (1), а, соответственно, график — к виду рис. 4.2, и при этом ничего не изменится. Однако все будет выглядеть иначе, если мы имеем два связанных между собой колебания — скажем, напряжения в разных точках одной схемы. В этом случае нам может быть важно, как соотносятся их величины в каждый момент времени, и тогда фаза одного переменного напряжения относительно другого (называемая в этом случае сдвигом или разностью фаз) и будет характеризовать такое соотношение. Для колебаний, представленных на рис. 4.3, сдвиг фаз равен 90° (π/2 радиан). Именно для наблюдения таких колебаний совместно и предназначен многоканальный или многолучевой осциллограф — в обычном фаза колебания определяется только настройками синхронизации.
Интересно, что получится, если мы такие «сдвинутые» колебания суммируем? Не надо думать, что это есть лишь теоретическое упражнение — суммировать электрические колебания разного вида нам придется довольно часто. Математически это будет выглядеть, как сложение формул (1) и (2):
U = A1·sin (2πf1t) + A2·sin (2πf2t + φ). (3)
Обратите внимание, что в общем случае амплитуды и частоты колебаний различны (на рис. 4.3 они одинаковы!).
Чтобы представить себе наглядно результат, надо проделать следующее: скопировать графики на миллиметровку, разделить период колебаний на некоторое количество отрезков и для каждого отрезка сложить величины колебаний (естественно, с учетом знака), а затем построить график по полученным значениям. Еще удобнее проделать то же самое на компьютере — надо лишь написать программу, которая вычисляет значения по формуле (3) и строит соответствующие графики. Конечно, можно и не писать собственную программу, а использовать готовую, — скажем, Excel прекрасно умеет выполнять подобные операции.
Для иллюстрации продемонстрируем, что получится, если сложить два колебания, которые были представлены на рис. Я не буду приводить картинки для иных случаев, т. к. интересных комбинаций может быть довольно много, но очень рекомендую потратить время на эти упражнения, потому что результаты могут быть весьма неожиданными и вовсе неочевидными. Скажем, при сложении двух синусоидальных колебаний с одинаковой частотой и амплитудой, но со сдвигом фаз в 180° (когда колебания находятся в противофазе), результирующая сумма будет равна нулю на всем протяжении оси времени! А если амплитуды таких колебаний не равны друг другу, то в результате получится такое же колебание, амплитуда которого в каждой точке равна разности амплитуд исходных. Запомним этот факт — он нам пригодится, когда мы будем рассматривать усилители звуковой частоты с обратной связью.

Рис. 4.4. Суммирование колебаний, сдвинутых по фазе на четверть периода
1 — исходные колебания, 2 — их сумма

Можно ли проверить на практике это положение? Для этого нам придется немного забежать вперед: потребуется сетевой трансформатор с двумя вторичными обмотками. Обмотки эти нужно соединить последовательно так, чтобы конец одной обмотки соединялся с концом другой (как находить начала и концы обмоток трансформатора, будет рассказано в главе 9). В обмотках трансформатора напряжения имеют одинаковую частоту и фазу, зависящую от способа их соединения — если соединить так, как указано (конец с концом), то сдвиг фаз составит ровно 180°, т. е. мы воспроизведем условия нашего эксперимента. Теперь осталось только включить трансформатор в сеть и присоединить к свободным выводам обмоток вольтметр (естественно, настроенный для измерения переменного напряжения). Мы получим именно то, что предсказано расчетом: если обмотки одинаковые (т. е. амплитуды напряжений в них одни и те же), то вольтметр не покажет ничего — несмотря на то, что сами напряжения в обмотках могут быть сколь угодно велики! Если же обмотки имеют разное количество витков, то результат измерения будет равен разности напряжений. Комбинируя различные обмотки таким образом, мы можем заставить трансформатор выдавать напряжения, которые в нем вовсе не были предусмотрены!
А вот вопрос на засыпку — что показывал вольтметр в предыдущем эксперименте? Ведь измеряемая величина все время, с частотой 50 раз в секунду, меняется от отрицательного до точно такого же положительного значения, т. е. в среднем напряжение строго равно нулю — и тем не менее, вольтметр нам показывал совершенно определенное значение. Для ответа на этот вопрос отвлечемся от колебаний и поговорим о еще одной важнейшей величине, которая характеризует электрический ток, — о мощности.